\(\int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [478]

Optimal result

Integrand size = 21, antiderivative size = 307 \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {4 a x}{b^5}+\frac {a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{7/2} b^5 (a+b)^{7/2} d}+\frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-4*a*x/b^5+a^2*(8*a^6-28*a^4*b^2+35*a^2*b^4-20*b^6)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(
7/2)/b^5/(a+b)^(7/2)/d+1/6*(12*a^4-23*a^2*b^2+6*b^4)*sin(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^2/d-1/3*a^2*cos(d*x+c)^3*sin(d*x
+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3-1/6*a^2*(4*a^2-9*b^2)*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(
d*x+c))^2+1/2*a^3*(4*a^4-11*a^2*b^2+12*b^4)*sin(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 1.01 (sec) , antiderivative size = 307, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.333, Rules used = {2871, 3126, 3110, 3102, 2814, 2738, 211} \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {a^2 \sin (c+d x) \cos ^3(c+d x)}{3 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{6 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {4 a x}{b^5} \]

[In]

Int[Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(-4*a*x)/b^5 + (a^2*(8*a^6 - 28*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 20*b^6)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a +
b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) + ((12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d
) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a^2*(4*a^2 - 9*b^2)*Cos[c
+ d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a^3*(4*a^4 - 11*a^2*b^2 + 12*b^4)*Sin
[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2814

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 2871

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[(-(b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/
(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Sin[e
+ f*x])^(n + 1)*Simp[b*(m - 2)*(b*c - a*d)^2 + a*d*(n + 1)*(c*(a^2 + b^2) - 2*a*b*d) + (b*(n + 1)*(a*b*c^2 +
c*d*(a^2 + b^2) - 3*a*b*d^2) - a*(n + 2)*(b*c - a*d)^2)*Sin[e + f*x] + b*(b^2*(c^2 - d^2) - m*(b*c - a*d)^2 +
d*n*(2*a*b*c - d*(a^2 + b^2)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 2] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3102

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(
b*(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3110

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (B_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)
*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Dist[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2)
), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*((b*B - a*C)*(b*c - a*d) - A*b*(a*c - b*d)) + (b*B*(a^2*d +
b^2*d*(m + 1) - a*b*c*(m + 2)) + (b*c - a*d)*(A*b^2*(m + 2) + C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Sin[e + f*x] - b*C*d*(m
+ 1)*(a^2 - b^2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3126

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)
*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
(c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*
c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (3 a^2-3 a b \cos (c+d x)-\left (4 a^2-3 b^2\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (-2 a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right )+2 a b \left (a^2-6 b^2\right ) \cos (c+d x)+\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-3 a^2 b \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right )-a \left (12 a^6-37 a^4 b^2+43 a^2 b^4-18 b^6\right ) \cos (c+d x)+b \left (a^2-b^2\right ) \left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-3 a^2 b^2 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right )-24 a b \left (a^2-b^2\right )^3 \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {4 a x}{b^5}+\frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {4 a x}{b^5}+\frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = -\frac {4 a x}{b^5}+\frac {a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{7/2} b^5 (a+b)^{7/2} d}+\frac {\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {a^2 \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {a^2 \left (4 a^2-9 b^2\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 \left (4 a^4-11 a^2 b^2+12 b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 4.08 (sec) , antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 0.78 \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {-24 a (c+d x)+\frac {6 a^2 \left (8 a^6-28 a^4 b^2+35 a^2 b^4-20 b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}+6 b \sin (c+d x)+\frac {2 a^5 b \sin (c+d x)}{(a-b) (a+b) (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {5 a^4 b \left (-2 a^2+3 b^2\right ) \sin (c+d x)}{(a-b)^2 (a+b)^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a^3 b \left (26 a^4-71 a^2 b^2+60 b^4\right ) \sin (c+d x)}{(a-b)^3 (a+b)^3 (a+b \cos (c+d x))}}{6 b^5 d} \]

[In]

Integrate[Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(-24*a*(c + d*x) + (6*a^2*(8*a^6 - 28*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 20*b^6)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-
a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(7/2) + 6*b*Sin[c + d*x] + (2*a^5*b*Sin[c + d*x])/((a - b)*(a + b)*(a + b*Cos[c + d*
x])^3) + (5*a^4*b*(-2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/((a - b)^2*(a + b)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a^3*b*(26*a^4
- 71*a^2*b^2 + 60*b^4)*Sin[c + d*x])/((a - b)^3*(a + b)^3*(a + b*Cos[c + d*x])))/(6*b^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 2.25 (sec) , antiderivative size = 395, normalized size of antiderivative = 1.29

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {2 a^{2} \left (\frac {\frac {\left (6 a^{4}-2 a^{3} b -18 a^{2} b^{2}+5 a \,b^{3}+20 b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (9 a^{4}-29 a^{2} b^{2}+30 b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (6 a^{4}+2 a^{3} b -18 a^{2} b^{2}-5 a \,b^{3}+20 b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (8 a^{6}-28 a^{4} b^{2}+35 a^{2} b^{4}-20 b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}-\frac {2 \left (-\frac {b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}+4 a \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(395\)
default	\(\frac {\frac {2 a^{2} \left (\frac {\frac {\left (6 a^{4}-2 a^{3} b -18 a^{2} b^{2}+5 a \,b^{3}+20 b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (9 a^{4}-29 a^{2} b^{2}+30 b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (6 a^{4}+2 a^{3} b -18 a^{2} b^{2}-5 a \,b^{3}+20 b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (8 a^{6}-28 a^{4} b^{2}+35 a^{2} b^{4}-20 b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}-\frac {2 \left (-\frac {b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}+4 a \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(395\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1096\)

[In]

int(cos(d*x+c)^5/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2*a^2/b^5*((1/2*(6*a^4-2*a^3*b-18*a^2*b^2+5*a*b^3+20*b^4)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x
+1/2*c)^5+2/3*(9*a^4-29*a^2*b^2+30*b^4)*a*b/(a^2-2*a*b+b^2)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/2*(6*a^4+2*
a^3*b-18*a^2*b^2-5*a*b^3+20*b^4)*a*b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2
*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/2*(8*a^6-28*a^4*b^2+35*a^2*b^4-20*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)
*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-2/b^5*(-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(1+tan(1/2*d*
x+1/2*c)^2)+4*a*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 762 vs. \(2 (290) = 580\).

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 1593, normalized size of antiderivative = 5.19 \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(48*(a^9*b^3 - 4*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 - 4*a^3*b^9 + a*b^11)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 144*(a^10*b^2 - 4*a^8*b
^4 + 6*a^6*b^6 - 4*a^4*b^8 + a^2*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 144*(a^11*b - 4*a^9*b^3 + 6*a^7*b^5 - 4*a^5*b^7 +
a^3*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 48*(a^12 - 4*a^10*b^2 + 6*a^8*b^4 - 4*a^6*b^6 + a^4*b^8)*d*x + 3*(8*a^11 - 28*a^9*
b^2 + 35*a^7*b^4 - 20*a^5*b^6 + (8*a^8*b^3 - 28*a^6*b^5 + 35*a^4*b^7 - 20*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*a^9*b
^2 - 28*a^7*b^4 + 35*a^5*b^6 - 20*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 3*(8*a^10*b - 28*a^8*b^3 + 35*a^6*b^5 - 20*a^4*b^7
)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(
a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 2*(24*a^11*
b - 92*a^9*b^3 + 133*a^7*b^5 - 71*a^5*b^7 + 6*a^3*b^9 + 6*(a^8*b^4 - 4*a^6*b^6 + 6*a^4*b^8 - 4*a^2*b^10 + b^12
)*cos(d*x + c)^3 + (44*a^9*b^3 - 169*a^7*b^5 + 239*a^5*b^7 - 132*a^3*b^9 + 18*a*b^11)*cos(d*x + c)^2 + 3*(20*a
^10*b^2 - 77*a^8*b^4 + 110*a^6*b^6 - 59*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^8*b^8 - 4*a^6*b^
10 + 6*a^4*b^12 - 4*a^2*b^14 + b^16)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + 6*a^5*b^11 - 4*a^3*b^13 + a*b
^15)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + 6*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 + a^2*b^14)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b
^5 - 4*a^9*b^7 + 6*a^7*b^9 - 4*a^5*b^11 + a^3*b^13)*d), -1/6*(24*(a^9*b^3 - 4*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 - 4*a^3*b^9
+ a*b^11)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 72*(a^10*b^2 - 4*a^8*b^4 + 6*a^6*b^6 - 4*a^4*b^8 + a^2*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2
+ 72*(a^11*b - 4*a^9*b^3 + 6*a^7*b^5 - 4*a^5*b^7 + a^3*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 24*(a^12 - 4*a^10*b^2 + 6*a^8*
b^4 - 4*a^6*b^6 + a^4*b^8)*d*x - 3*(8*a^11 - 28*a^9*b^2 + 35*a^7*b^4 - 20*a^5*b^6 + (8*a^8*b^3 - 28*a^6*b^5 +
35*a^4*b^7 - 20*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*a^9*b^2 - 28*a^7*b^4 + 35*a^5*b^6 - 20*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^2
+ 3*(8*a^10*b - 28*a^8*b^3 + 35*a^6*b^5 - 20*a^4*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) +
b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (24*a^11*b - 92*a^9*b^3 + 133*a^7*b^5 - 71*a^5*b^7 + 6*a^3*b^9 + 6*(a^8*b
^4 - 4*a^6*b^6 + 6*a^4*b^8 - 4*a^2*b^10 + b^12)*cos(d*x + c)^3 + (44*a^9*b^3 - 169*a^7*b^5 + 239*a^5*b^7 - 132
*a^3*b^9 + 18*a*b^11)*cos(d*x + c)^2 + 3*(20*a^10*b^2 - 77*a^8*b^4 + 110*a^6*b^6 - 59*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10)*co
s(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^8*b^8 - 4*a^6*b^10 + 6*a^4*b^12 - 4*a^2*b^14 + b^16)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b
^7 - 4*a^7*b^9 + 6*a^5*b^11 - 4*a^3*b^13 + a*b^15)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + 6*a^6*b^10 - 4
*a^4*b^12 + a^2*b^14)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + 6*a^7*b^9 - 4*a^5*b^11 + a^3*b^13)*d)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**5/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 563, normalized size of antiderivative = 1.83 \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\frac {3 \, {\left (8 \, a^{8} - 28 \, a^{6} b^{2} + 35 \, a^{4} b^{4} - 20 \, a^{2} b^{6}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {d x + c}{2 \, \pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (-2 \, a + 2 \, b\right ) + \arctan \left (-\frac {a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{\sqrt {a^{2} - b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{6} b^{5} - 3 \, a^{4} b^{7} + 3 \, a^{2} b^{9} - b^{11}\right )} \sqrt {a^{2} - b^{2}}} - \frac {18 \, a^{9} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} - 42 \, a^{8} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} - 24 \, a^{7} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} + 117 \, a^{6} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} - 24 \, a^{5} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} - 105 \, a^{4} b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} + 60 \, a^{3} b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} + 36 \, a^{9} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 152 \, a^{7} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 236 \, a^{5} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 120 \, a^{3} b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 18 \, a^{9} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 42 \, a^{8} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 24 \, a^{7} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 117 \, a^{6} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 24 \, a^{5} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 105 \, a^{4} b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 60 \, a^{3} b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (a^{6} b^{4} - 3 \, a^{4} b^{6} + 3 \, a^{2} b^{8} - b^{10}\right )} {\left (a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + a + b\right )}^{3}} + \frac {12 \, {\left (d x + c\right )} a}{b^{5}} - \frac {6 \, \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 1\right )} b^{4}}}{3 \, d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(8*a^8 - 28*a^6*b^2 + 35*a^4*b^4 - 20*a^2*b^6)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arc
tan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^6*b^5 - 3*a^4*b^7 + 3*a^2*b^9 - b
^11)*sqrt(a^2 - b^2)) - (18*a^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 42*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*a^7*b^2*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^5 + 117*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 105*a^4*b^5*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^5 + 60*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*a^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 152*a^7*b^2*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^3 + 236*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 120*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*a^9*tan(1/2*d*x + 1/2
*c) + 42*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 117*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*
a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 105*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^6*b^4 -
3*a^4*b^6 + 3*a^2*b^8 - b^10)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) + 12*(d*x + c)
*a/b^5 - 6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 1)*b^4))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 24.95 (sec) , antiderivative size = 7494, normalized size of antiderivative = 24.41 \[ \int \frac {\cos ^5(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(cos(c + d*x)^5/(a + b*cos(c + d*x))^4,x)

[Out]

- ((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(12*a^7*b - 72*a^8 - 18*b^8 + 72*a^2*b^6 + 60*a^3*b^5 - 273*a^4*b^4 - 47*a^5*b^3 + 23
6*a^6*b^2))/(3*b^4*(a + b)^2*(a - b)^3) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(12*a^7*b + 72*a^8 + 18*b^8 - 72*a^2*b^6 + 60*
a^3*b^5 + 273*a^4*b^4 - 47*a^5*b^3 - 236*a^6*b^2))/(3*b^4*(a + b)^3*(a - b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*a*b^6
- 4*a^6*b - 8*a^7 + 2*b^7 - 6*a^2*b^5 - 26*a^3*b^4 + 11*a^4*b^3 + 24*a^5*b^2))/(b^4*(a + b)*(a - b)^3) + (tan(
c/2 + (d*x)/2)^7*(2*a*b^6 + 4*a^6*b - 8*a^7 - 2*b^7 + 6*a^2*b^5 - 26*a^3*b^4 - 11*a^4*b^3 + 24*a^5*b^2))/(b^4*
(a + b)^3*(a - b)))/(d*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^2 - 6*a^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(6*a
^2*b + 4*a^3 - 2*b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a^3 - 6*a^2*b + 2*b^3) + a^3 + b^3 + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(3*a
*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3))) - (8*a*atan(((4*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 -
128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a
^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^
16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) +
(a*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a
^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^
23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14
- a^10*b^13 - a^11*b^12) - (a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5
*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^1
2 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10)*32i)/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14
- 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*4i)/b^5))/b^5 + (4*a*((8*tan(c/
2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 -
1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 7
68*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12
+ 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (a*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^2
0 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*
a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 -
10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^2
3 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a
^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10)*32i)/(b^5*(a*b^18 + b^19 -
5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^
10*b^9 - a^11*b^8)))*4i)/b^5))/b^5)/((32*(128*a^16 - 64*a^15*b + 320*a^4*b^12 + 480*a^5*b^11 - 1520*a^6*b^10 -
1280*a^7*b^9 + 3088*a^8*b^8 + 1602*a^9*b^7 - 3472*a^10*b^6 - 1088*a^11*b^5 + 2288*a^12*b^4 + 400*a^13*b^3 - 8
32*a^14*b^2))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16
+ 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^
2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7
- 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 -
5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^1
1*b^8) + (a*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^1
7 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*
b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5
*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20
+ 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48
*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10)*32i)/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*
a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*4i)/b^5)*4i)/b^5 + (a*
((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*
a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^
13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 1
0*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (a*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 +
95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*
b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*
a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (a*tan(c/2 + (d*x)/2
)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^
16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10)*32i)/(b^5*(a*b^18
+ b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9
*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*4i)/b^5)*4i)/b^5)))/(b^5*d) - (a^2*atan(((a^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16
- 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^
8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 +
b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b
^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) + (a^2*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193
*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^
11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7
*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1
/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^
19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 +
8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a
^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^
7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^
2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^
7 - a^14*b^5)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*1i)/(2*(b^19 - 7*a^2*b
^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)) + (a^2*((8*tan(c/2 + (d*
x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a
^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14
*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^
8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (a^2*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 7
3*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*
b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a
^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)
^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b
^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13
+ 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 2
1*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*
a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6
- 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10
*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*1i)/(2
*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))/((32*(1
28*a^16 - 64*a^15*b + 320*a^4*b^12 + 480*a^5*b^11 - 1520*a^6*b^10 - 1280*a^7*b^9 + 3088*a^8*b^8 + 1602*a^9*b^7
- 3472*a^10*b^6 - 1088*a^11*b^5 + 2288*a^12*b^4 + 400*a^13*b^3 - 832*a^14*b^2))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 -
5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^
11*b^12) - (a^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a^4*b^12 + 768
*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11*b^5 + 1920*a
^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 -
10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) + (a^2*((16*(8*a*b^23 - 20*a^2*b^2
2 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*b^15 - 143*a^
10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 +
10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (4
*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*(8*a*b^23 - 8*
a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^1
5 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^1
5 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16
+ 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*(-(
a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35
*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6
+ 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*
a^12*b^7 - a^14*b^5)) + (a^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*a^16 - 128*a^15*b + 64*a^2*b^14 - 128*a^3*b^13 + 80*a
^4*b^12 + 768*a^5*b^11 - 824*a^6*b^10 - 1920*a^7*b^9 + 2025*a^8*b^8 + 2560*a^9*b^7 - 2600*a^10*b^6 - 1920*a^11
*b^5 + 1920*a^12*b^4 + 768*a^13*b^3 - 768*a^14*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 +
10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (a^2*((16*(8*a*b^23
- 20*a^2*b^22 - 36*a^3*b^21 + 95*a^4*b^20 + 73*a^5*b^19 - 193*a^6*b^18 - 87*a^7*b^17 + 217*a^8*b^16 + 63*a^9*
b^15 - 143*a^10*b^14 - 25*a^11*b^13 + 52*a^12*b^12 + 4*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 -
5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^
11*b^12) + (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*(
8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16
+ 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17
+ 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17
- 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^
11*b^8)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*
a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*
a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*
a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5))))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 20*b^6 + 35*a^2*b^4 - 28*a^4*b^2)*1
i)/(d*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5))